Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Idei din Tara lui Andrei 2014

Idei din Tara lui Andrei 2014

Idei din Țara lui Andrei 2014   A început Idei din Țara lui Andrei 2014, competiția ideilor cu ceva în plus. Idei din Țara lui Andrei este o competiție de proiecte sustenabile...

Read more

Schimbari in programa de invatamant din …

SCHIMBĂRI ÎN PROGRAMA DE ÎNVĂțĂMÂNT DIN TOAMNĂ MEN aduce schimbări privind programa de învățământ pentru anul școlar 2014-2015. Se pare că cei mai afectați vor fi elevii din clasele I-IV. Astfel, Ministerul...

Read more

Calendar examenul national de definitiva…

Calendarul desfăşurării examenului naţional de definitivare în învăţământ   Vezi calendarul şi programul de desfăşurare a examenului naţional de definitivare în învăţământ.

Read more

TERAPIA LOGOPEDICA IN GRADINITA

TERAPIA LOGOPEDICÃ ÎN GRÃDINIŢÃ   Educatoare: Rãtoiu Victoria Şcoala cu clasele I - VIII, G.P.N. Nr. 1, Corabia     Lucrarea de fata îsi propune sã prezinte terapia logopedicã din grãdinitã cu scopul de a...

Read more

Rolul educatiei in dezvoltarea personali…

ROLUL EDUCAȚIEI ÎN DEZVOLTAREA PERSONALITĂȚII Prof. Nadia Breazu Colegiul Tehnic Motru Cuvinte cheie: educabilitate, ineism, ambientalism, interacţionism, repere psiho-genetice Rezumat. Numai omul poate învăţa. Puterea educaţiei...

Read more

Metodologie si criterii pentru acordarea…

Ordin pentru aprobarea Metodologiei si a criteriilor pentru acordarea gradatiei de merit in invatamantul preuniversitar, emis de Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului  

Read more

Study on expressing present and past rou…

STUDY ON EXPRESSING PRESENT AND PAST ROUTINE IN ENGLISH   Prof. Simona PISOI Colegiul Naţional Carol I, Craiova     SUMMARY English has no single verb expressing habitual aspect. Instead, habitual behaviour is indicated in various ways,...

Read more

A study about wuthering heights

A STUDY ABOUT WUTHERING HEIGHTS Prof. Adriana- Maria Ştefănescu Liceul Tehnologic Energetic „Regele Ferdinand I”, Timişoara Emily Jane Brontë (1818 –1848) was a British novelist and poet, now best remembered...

Read more