Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Using social networks to teach english

USING SOCIAL NETWORKS TO TEACH ENGLISH   Prof. Dumitru Maria Magdalena Liceul Tehnologic Constantin Brâncuși- Pitești   In 2007, the British Council led a research activity about how the internet affected students ‘preferences as regards...

Read more

Educatia ecologica o sansa pentru viitor

EDUCAŢIA ECOLOGICĂ – O ŞANSĂ PENTRU VIITOR!                                                   Profesor: Miron Steluţa Otilia Şcoala cu clasele I-VIII Movila Miresii, judeţul Brăila   Rezumat: Educaţia ecologică este o componentă a educaţiei aflată la confluenţa dintre ştiinţele...

Read more

Experiente de invatare generate de jocul…

EXPERIENȚE DE ÎNVĂȚARE GENERATE DE JOCUL DIDACTIC MATEMATIC LA ȘCOLARII MICI, ABORDATE DIN TREI PERSPECTIVE DIFERITE Marinescu Gabriela, Prof. învățământ primar Școala Gimnazială „Romulus Cioflec”Araci, jud. Covasna ...

Read more

Formular de aplicatie proiecte cuprinse …

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului și Sportului FORMULAR DE APLICAŢIE pentru proiectele ce vor fi cuprinse în Calendarul Activităţilor Educative 2011 Proiectele se transmit prin poștă/curier de ISJ/ISMB, într-un singur pachet, până la...

Read more

Importanta orelor de educatie fizica in …

IMPORTANŢA ORELOR DE EDUCAŢIE FIZICĂ ÎN ŞCOALĂ Prof. Ed. fizică Lazăr Răzvan Şcoala Gimnazială “Anghel Saligny” Focşani, Vrancea Educaţia fizică din...

Read more

Insertia si calitatea vietii la persoane…

INSERŢIA ŞI CALITATEA VIEŢII LA PERSOANELE CU CERINŢE EDUCATIVE SPECIALE   Sîrbu Mihaela Ramona, Profesor itinerant/de sprijin Centrul Şcolar pentru Educaţie Incluzivă Şimleu Silvaniei     Dezvoltarea unei abordări comune a calităţii vieţii aplicabilă la...

Read more

Cercetarea stiintifica si tipologia pref…

CERCETARE ŞTIINŢIFICĂ TIPOLOGIA PREFIXOIDELOR prof. Chiru Adelina Şcoala Gimnazială ,,Înv. Clemenţa Beşchea” Căpăţîneşti, Mărăcineni, judeţul Buzău Aspectul formal Intrând în compunerea unui cuvânt, prefixoidele...

Read more

Organizarea interna a disciplinei limba …

Organizarea internă a disciplinei pe niveluri de învăţământ          Modelul comunicativ-funcţional şi competenţele-cheie specifice disciplinei limba şi literatura română impun anumite competenţe generale în cadrul programelor şcolare pe niveluri de învăţământ...

Read more