Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Dezvoltarea psihopedagogica a scolarului…

DEZVOLTAREA PSIHOPEDAGOGICĂ A ŞCOLARULUI MIC prof. înv. primar Marşeu Rodica Lavinia Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara Copilăria este perioada în care dezvoltarea psihică a copiilor...

Read more

Inspectia tematica scop obiective tipuri…

CAPITOLUL II  Inspectia unitatilor de invatamant preuniversitar   SECTIUNEA a 6-a Inspectia tematica. Scop, obiective, tipuri, etape   Art. 46. -     Obiectul principal al inspectiei tematice il reprezinta o secventa particulara/un aspect a/al activitatii...

Read more

Utilizarea calculatorului in cadrul lect…

UTILIZAREA CALCULATORULUI ÎN CADRUL LECŢIILOR DE BIOLOGIE   Prof. Bondei Ionica Liceul Pedagogic ″D. P. Perpessicius″, Brăila     Noile cerinţe ale programei şcolare, dorinţa elevilor, dar şi a profesorilor de a utiliza mijloace moderne în...

Read more

Concursul National Viva la Musica Zalau …

Concursul National Viva la Musica Zalau 2016 castigatorii pentru editia a XVIII-a

CONCURSUL NAŢIONAL „VIVA LA MUSICA” CÂȘTIGĂTORII PENTRU EDIŢIA A XVIII-A, ZALĂU, MAI 2016 Concursul Național “VIVA LA MUSICA” 2016, aflat la cea de a XVIII-a ediție, a...

Read more

Jocul modalitate de invatare si educare …

JOCUL MODALITATE DE ÎNVĂŢARE ŞI EDUCARE (STUDIU)   Educator Stan Luminiţa-Simona Grădiniţa cu program normal Bălăbăneşti, Galaţi   Încorporat în activitatea didactică, elementul de joc imprimă acesteia un caracter mai viu şi mai atragător, aduce...

Read more

Titanul si geniul eminescian_Matei Calin…

TITANUL ŞI GENIUL EMINESCIAN ÎN VIZIUNEA LUI MATEI CǍLINESCU   Prof. Marian Gina Grup Şcolar „Gheorghe Lazǎr” Baia Mare     Amplele studii ale lui Matei Cǎlinescu dedicate operei eminesciene investighează în mod deosebit reprezentǎrile...

Read more

Dezvoltarea creativitatii prin activitat…

DEZVOLTAREA CREATIVITĂŢII PRIN ACTIVITĂŢILE INTEGRATE Înv. Marc Aurica Școala Gimnazială Cîmpeni Predarea integrată a cunoştinţelor este considerată o metoda, o strategie modernă,...

Read more

Planificare model pentru matematica inva…

Planificare model pentru matematica invatamant gimnazial   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice. Iata model...

Read more